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Olympiade panafricaine de Mathématiques

 
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Auteur Message
Nino
Bon posteur


Inscrit le: 05 Mar 2004
Messages: 603

MessagePosté le: Ven 19 Aoû 2005 16:58    Sujet du message: Olympiade panafricaine de Mathématiques Répondre en citant

Voici pour ceux que ça intéresse les exercices posés aux dernières olympiades panafricaines de mathématiques qui ont eu lieu début Août à Alger.


Premier jour : 1 Août 2005 : 4hrs30

Exercice 1
Pour tous nombres réels positifs,a,b et c, montrer que
(1/a) +(1/b)+(1/c) ( 2/(a+b) ) + (2 / (b+c) ) + ( 2/(c+a) ) 9/(a+b+c)

Exercice 2
Soit S un ensemble d'entiers vérifiant la propriété suivante:" toute racine entière d'un polynôme non nul à coefficients dans S appartient aussi à S".
Si 0 et 1000 sont dans S, montrer que -2 est aussi dans S.

Exercice 3
Soit ABC un triangle et P un point appartenant à un des côtés de ABC.Construire une droite passant par P et divisant le triangle ABC en deux parties d'égales surfaces.


Second jour : 2 Août 2005 : 4hrs30

Exercice 4
Soit [x] le plus grand entier inférieur ou égal à x ( NDLR:chez les francophones, on dit partie entière ),et soit {x}=x-[x] ( NDLR:chez les francophones, c'est la partie fractionnaire).
Par exemple [11]=11, [pi]=3 et [-pi]=-4.
Résoudre l'équation [x]{x}=2005x.

Exercice 5
Noah doit faire correspondre 8 espèces animales avec 4 cages. Il a initialement prévu de mettre 2 espèces d'animaux par cage. Plus tard, il réalise que pour chaque espèce d'animaux,il y'a au plus 3 autres espèces avec lesquelle elle ne peut partager la cage.Montrer qu'il y'a un moyen de mettre les animaux en cage qui respectent les compatibilités décrites ci-dessus.

Exercice 6

Soit f: --> une fonction telle que pour tout a,b dans : -{0},f(ab) f(a) + f(b).
Montrer que pour tout a de -{0},
( f(a^n)=nf(a) pour tout n ) ( f(a^2)=2f(a) )
_________________
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