Posté le: Ven 19 Aoû 2005 12:33 Sujet du message: 5 pour s'amuser
N°1:produit de 2005 entiers relatifs
Un ensemble E contient 2005 nombres entiers relatifs. A chaque élément de E, on associe la somme de tous les autres éléments de E et on obtient un ensemble F constitué lui aussi de 2005 nombres entiers relatifs. On observe que E et F sont identiques. Trouver le produit de tous les termes de E
N°2:La formule magique de Kamiche
Kamiche dit à son ami Tchoko :
- Pense à un nombre entier compris entre 1 et 5000 et indique moi dans l’ordre les restes des divisions de ce nombre par 11, 17 et 31. Je te dirai quel est le nombre que tu as choisi.
- Mes restes sont respectivement 2,15 et 20
- Ton nombre est 2004.
- C’est exact. Comment as tu fait pour être aussi rapide ?
Quelle est la formule « magique » de Kamiche qui lui a permis d’étonner son ami ?
N°3: Un peu d'algèbre
**Si X + Y = 1 et X^2+Y^2=2 , qu’en est-il de X^3+Y^3 ?
**Si X + Y + Z = 1, X^2+Y^2+Z^2=2 et X^3+Y^3+Z^3=3 , qu’en est-i l de X^4+Y^4+Z^4 ?
N°4: Supression de cartes
2004 cartes numérotées de 1 à 2004 sont placées sur la circonférence d’un cercle dans cet ordre. Partant de la carte n°1, on supprime la carte n°2, puis la carte n°4 etc… puis la carte n°2004 puis on continue le processus en éliminant toujours une carte sur deux. Quel est le numéro de la dernière carte restante ?
N°5: Mini-somme et maxi-produit
Comment choisir n nombre réels positifs dont la somme vaut 30 afin que leur produit P soit maximum ? Quelles sont les valeurs de n et de P ? _________________ Mon blog: http://nino.akopo.com
Posté le: Ven 19 Aoû 2005 16:56 Sujet du message: Re: 5 pour s'amuser
nino a écrit:
N°3: Un peu d'algèbre
**Si X + Y = 1 et X^2+Y^2=2 , qu’en est-il de X^3+Y^3 ?
**Si X + Y + Z = 1, X^2+Y^2+Z^2=2 et X^3+Y^3+Z^3=3 , qu’en est-i l de X^4+Y^4+Z^4 ?
Une autre formule "magique" me donne
X^3+Y^3 = 5/2
X^4+Y^4+Z^4 = 25/6
Mais quelles sont donc ces formules "magiques"?? _________________ I long to accomplish great and noble tasks, but it is my chief duty to accomplish humble tasks as though they were great and noble.
The world is moved along, not only by the mighty shoves of its heroes, but also by the aggregate of the tiny pushes of each honest worker.
Posté le: Ven 19 Aoû 2005 18:16 Sujet du message: Re: 5 pour s'amuser
kamiche a écrit:
nino a écrit:
N°3: Un peu d'algèbre
**Si X + Y = 1 et X^2+Y^2=2 , qu’en est-il de X^3+Y^3 ?
**Si X + Y + Z = 1, X^2+Y^2+Z^2=2 et X^3+Y^3+Z^3=3 , qu’en est-i l de X^4+Y^4+Z^4 ?
Une autre formule "magique" me donne
X^3+Y^3 = 5/2
X^4+Y^4+Z^4 = 25/6
Mais quelles sont donc ces formules "magiques"??
La première c'est :
(X+Y)^3=X^3+Y^3+ { (3/2) ( (X+Y)^2 - (X^2+Y^2) ) }
Pour la seconde,j'ai la flemme de lancer les calculs, mais c'est du même acabit... _________________ Mon blog: http://nino.akopo.com
Posté le: Dim 21 Aoû 2005 11:51 Sujet du message: Re: 5 pour s'amuser
nino a écrit:
N°1:produit de 2005 entiers relatifs
Un ensemble E contient 2005 nombres entiers relatifs. A chaque élément de E, on associe la somme de tous les autres éléments de E et on obtient un ensemble F constitué lui aussi de 2005 nombres entiers relatifs. On observe que E et F sont identiques. Trouver le produit de tous les termes de E
On pose x_1,x_2,..,x_2005 les entiers relatifs et S leur somme.
Par hypothèse, {x_1,x_2,...,x_2005}={S-x_1,S-x_2,...,S-x_2005} (en pensant que la somme de tous les autres éléments vaut S moins l'entier considéré).
On peut donc construire une bijection entre les deux ensembles ci-dessus,qui vérifiera:
** pour tout i, il existe un unique j tel que x_i=S-x_j
Ou encore x_i+x_j=S (1)
L'apparition de chaque indice se faisant une seule fois, en sommant la relation (1),il vient S+S=2005*S ==> S=0
Ainsi,la relation (1) s'écrit aussi x_i=-x_j.
Tout entier relatif de la liste possède donc son inverse.
Si on les apparie deux par deux,chaque entier avec son opposé,on obtient un nombre pair d'entiers si aucun entier n'est égal à son opposé.Mais il y'a un nombre impair (2005 ) d'entiers par hypothèse,c'est donc qu'un élément est égal à son inverse.
C'est à dire que 0 fait partie de la liste des entiers et donc le produit des 2005 entiers est nul.... _________________ Mon blog: http://nino.akopo.com
Vous ne pouvez pas poster de nouveaux sujets dans ce forum Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum Vous ne pouvez pas éditer vos messages dans ce forum Vous ne pouvez pas supprimer vos messages dans ce forum Vous ne pouvez pas voter dans les sondages de ce forum
RSS
FAQ
Rechercher
Liste des Membres
Groupes d'utilisateurs
S'enregistrer
Profil
Se connecter pour vérifier ses messages privés
Connexion
