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Tchoko · Dernière édition par Tchoko le Dim 11 Sep 2005 12:29; édité 1 fois

Bonjour à tous,

Bon, pour faire plaisir à certains (et à moi même surtout), je mets à disposition ici les dix grandes énigmes de la physique (vous cliquez directement sur les "énigmes" pour lire les articles) :

Tchoko · Posté le: Sam 10 Sep 2005 18:44 Sujet du message:

Tchoko · Posté le: Dim 11 Sep 2005 11:41 Sujet du message:

Mathématiques : sept questions à 1 million de dollars
Cent ans après les défis lancés à Paris par David Hilbert à ses collègues, un mécène américain choisit le Collège de France pour soumettre « Les sept problèmes du millénaire » à la sagacité des mathématiciens. L'un d'entre eux, proposé il y a un siècle, est toujours non résolu
Mis à jour le mercredi 24 mai 2000
http://www.mat.uniroma3.it/scuola_orientamento/scuola/hobby/7questioni.html

EST-IL POSSIBLE de prévoir le futur des mathématiques ? Il y a cent ans, lors du second Congrès international des mathématiciens, qui se tenait à Paris, l'Allemand David Hilbert, l'un des plus grands mathématiciens de son temps avec le Français Henri Poincaré, s'était interrogé sur cette question. Le 8 août 1900, il avait proposé aux 226 mathématiciens présents de deviner le futur des mathématiques au travers d'une série de vingt-trois problèmes couvrant l'ensemble du champ de cette discipline. Le pari était immense. A la mesure de l'épitaphe qui fut gravée en 1943 sur sa tombe : « Wir müssen wissen. Wir werden wissen. » (« Nous devons savoir. Nous saurons. »)

Mercredi 24 mai, et toujours à Paris, dans les bâtiments du Collège de France, le Clay Mathematics Institute de Cambridge (Massachusetts), financé par le businessman et ami des sciences Landon Clay, se propose de renouveler l'expérience au travers d'une nouvelle série d'énigmes mathématiques, « Les sept problèmes du millénaire ».

Les enjeux sont élevés et les prix qui récompenseront les lauréats à la mesure des défis lancés : 1 million de dollars (environ 1 million d'euros) par énigme. Pour cette occasion, Landon Clay et les quatre mathématiciens du conseil scientifique du Clay Mathematics Institute - Alain Connes (Collège de France, IHÉS), Arthur Jaffe (Harvard University), Edward Witten (Institute for Advanced Study) et Andrew Wiles (Princeton University), qui a totalement démontré le théorème de Fermat en 1994 - ont voulu des symboles forts.

D'abord la ville : Paris. Ensuite le défi : sept problèmes à comparer aux vingt-trois rédigés par Hilbert. Enfin, le pays, la France, héritière d'une longue tradition mathématicienne et forte d'une importante communauté de mathématiciens de réputation internationale. Et puis aussi, Arthur Jaffe ne le nie pas, il fallait une tribune. « Ce que nous voulons avec cette manifestation un brin médiatique, c'est montrer au public l'importance des maths, qui sont à la base même des sciences et le moteur incontournable de notre niveau de vie. Je ne connais pas, note-t-il, de pays développé sans mathématiques. C'est pourquoi notre institut veut avec ces prix faire comprendre au grand public et aux politiques qu'investir dans les mathématiques, c'est investir dans l'avenir. »

Sans elles, « pas d'ordinateurs, pas de systèmes de localisation des véhicules, pas de semi-conducteurs, pas de conquête spatiale, pas de télécommunications, pas de génomique, pas de nanotechnologies »... Alors, « laissons chercher », poursuit Arthur Jaffe. « Nous savons que les problèmes que nous avons posés sont importants. Nous savons aussi que leur résolution aura de grandes conséquences. Lesquelles, je ne le sais pas, pas plus que je ne sais quand ils seront résolus. Peut-être demain. Peut-être dans plus de trois cent cinquante ans, comme pour le théorème de Fermat. »

LE « M. POURQUOI » Une seule chose est sûre, « il faut y aller ». A ceux qui hésitent et qui proposent d'abandonner les recherches à long terme d'apparence gratuite et inutile, Alain Connes, professeur au Collège de France et médaille Fields 1982, répond que suivre cette voie reviendrait à se retrouver dans la situation de ces apprentis médecins qui, observant le fonctionnement du cerveau, élimineraient tout ce qui n'a pas trait aux fonctions vitales et rejeteraient le cortex. « Les mathématiques, insiste-t-il, c'est un peu comme ce cortex. Une réflexion profonde dont l'utilisation n'est pas toujours immédiate. » Pour s'en convaincre, il suffit de constater à quel point Henri Poincaré et David Hilbert ont marqué de leur empreinte le XXe siècle.

Même si, remarque Jean-Pierre Bourguignon, directeur de l'Institut des hautes études scientifiques (IHÉS, Bures-sur-Yvette), « il n'est plus possible de caractériser le XXe siècle mathématique comme celui de Hilbert et de Poincaré », force est de reconnaître, écrivait-il dans la revue La Recherche (septembre 1993), que cette période a vu, en partie grâce à eux, « un développement massif de cette science ». On en voudrait pour preuve qu'en 1900 un peu plus de 220 mathématiciens étaient présents au Congrès international de Paris, alors qu'ils furent près de 6 000 à assister en 1990 à celui de Kyoto.

Que reste-t-il des vingt-trois problèmes de Hilbert ? « Mis à part huit d'entre eux de nature très générale pour lesquels bien des avancées ont été faites, douze ont été résolus », constate Alain Connes. « Il en reste donc trois, dont l'Hypothèse de Riemann, qui est considérée, aujourd'hui encore, comme le plus important problème des mathématiques fondamentales » et figure en tête des Sept Problèmes du millénaire retenus par le Clay Mathematics Institute . Et cette « passerelle » jetée par-delà les ans fait revivre l'esprit du mathématicien de Göttingen, qui voulait pouvoir soulever « le voile qui cache le futur », jeter un regard « sur le développement des mathématiques, ses progrès ultérieurs » et « les secrets des découvertes à venir ».

Pour David Hilbert, explique Simon Singh dans Le Dernier Théorème de Fermat (Ed. J.-C. Lattès, 1998), il fallait « répondre à toutes les questions ». « Les mathématiques devraient être débarrassées de leurs incohérences (...). Il ne devrait pas être possible de démontrer par une méthode que quelque chose était vrai et par une autre que c'était faux », tant le rival de Poincaré était convaincu qu'il serait possible, à l'aide de quelques axiomes, « de répondre à n'importe quelle question sans craindre d'être contredit ». Même si ce grand oeuvre présente des chapitres inégaux, même si certains pans des mathématiques comme l'analyse fonctionnelle, en plein mûrissement à l'époque, sont absents du grand défi, les vingt-trois problèmes influencèrent durablement les recherches des mathématiques des décennies durant.

Et ce malgré un coup de tonnerre qui, en 1931, secoua le ciel bien ordonné de Hilbert. Cette année-là, un mathématicien peu connu, Kurt Gödel, surnommé par sa famille « Der Herr Warum », le « M. Pourquoi », ruina ses espérances en affirmant que les mathématiques ne seraient jamais logiquement parfaites. Il démontra, via deux théorèmes aujourd'hui célèbres, « qu'il y a dans tout système formel non contradictoire des énoncés qui sont vrais, mais qui ne pourront jamais être démontrés et qui sont donc indécidables ».

Le choc fut tel que le grand John von Neumann, spécialiste de la théorie des jeux et père des premières machines à calculer, abandonna aussitôt ses conférences sur Hilbert pour se consacrer aux travaux de Gödel. Témoin de ces affrontements, le mathématicien français André Weil commenta alors les effets de cette révolution en déclarant : « Dieu existe parce que les mathématiques sont cohérentes, et le Diable existe puisque nous ne pouvons pas le prouver. »

Jean-François Augereau
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« En me renversant, on n'a abattu à Saint-Domingue que le tronc de l'arbre de la liberté, mais il repoussera car ses racines sont profondes et nombreuses. » (Toussaint Louverture)

Tchoko · Posté le: Dim 11 Sep 2005 12:18 Sujet du message:

Les sept énigmes du millénaire

Source

LES MILLIONS DE DOLLARS offerts par le Clay Mathematics Institute ne doivent pas faire tourner les têtes. Les énigmes proposées ne sont pas pour les amateurs. Pas de problèmes de robinets qui fuient ou de trains qui se croisent. Le vocabulaire des énoncés est apparemment simple mais le contenu inaccessible au profane.

De ces sept énigmes une seule était déjà présente dans les défis présentés de Hilbert : l'hypothèse de Riemann relative à la distribution des nombres premiers parmi les entiers. Ces nombres ayant la particularité de n'être divisibles que par un ou par eux-mêmes sont essentiels à l'établissement des clés cryptographiques.

Les autres problèmes concernent :

La conjecture de Poincaré : si l'on trace une courbe fermée, qui ne se recoupe pas à la surface d'un ballon et que l'on découpe ensuite ce ballon le long de cette courbe, on obtient deux morceaux différents. Cela n'est pas toujours le cas pour des surfaces plus compliquées comme une chambre à air de vélo (tore). Les mathématiciens disent alors que la sphère - le ballon - est simplement connexe. Or il est facile de démontrer que toute surface de ce type qui est finie (c'est-à-dire qu'on peut enfermer dans une boîte), et sans bord, est forcément la surface d'un objet sphérique. La conjecture de Poincaré stipule que cela continue d'être vrai si l'on passe des surfaces à deux dimensions aux espaces à trois dimensions.

La conjecture de Hodge : au XXe siècle, ont été découvertes des façons efficaces d'étudier la géométrie des objets complexes à partir d'assemblages de formes géométrique simples de dimension croissante. Cette technique puissante à permis de créer une multitude d'outils connus sous le nom de Théories de Cohomologie qui ont permis de faire d'énormes progrès dans la classification des objets mathématiques. Malheureusement, les origines géométriques de la théorie ont disparu au fur et à mesure que s'y ajoutaient des éléments qui n'ont plus rien à voir avec la géométrie. La conjecture de Hodge suggère que certains objets mathématiques peuvent être interprétés comme une combinaison de formes géométriques d'origine algébrique.

La conjecture de Birch Swinnerton-Dyer : le problème consistant à trouver des solutions aux équations du type x2 + y2 = z2 où x, y et z sont des nombres entiers est un terrain de jeu apprécié des mathématiciens. Toutes les solutions de l'équation ci-dessus se décrivent facilement. Mais pour des polynômes plus compliqués, c'est extrêmement difficile. Il n'y a pas de méthode générale pour trouver les solutions. Mais la conjecture de Birch Swinnerton-Dyer pourrait apporter des réponses sur certaines de ces équations appelées Courbes elliptiques de Genre Un.

Le problème P vs NP : c'est samedi soir et vous arrivez dans une soirée. Combien de personnes y connaissez-vous déjà ? L'hôtesse vous informe que vous connaissez sans doute Julie, la femme qui se trouve là-bas, près de la table du fond. Mais, si elle ne vous dit rien, vous devez aller voir chaque personne, une par une. C'est ce type de problématique que les mathématiciens veulent résoudre : à savoir que parfois la recherche de la solution prend plus de temps que de vérifier l'exactitude de la solution.

Les équations de Navier-Stokes : ces équations qui datent du XIXe siècle gouvernent la mécanique des fluides liée aux problèmes de turbulences aérodynamiques qui affectent les avions ou aux phénomènes météorologiques. Or la compréhension que nous avons des solutions données par ces équations reste minime.

Les équations de Yang-Mills : les lois de la physique quantique jouent aux échelles microscopiques un rôle analogue à celui des lois de Newton qui régissent la mécanique classique du monde macroscopique. Il y a près d'un demi-siècle, deux physiciens, Yang et Mills, ont découvert une relation étonnante entre les particules élémentaires et la géométrie des « espaces fibrés ». Les prédictions de ces équations sont vérifiées quotidiennement dans les accélérateurs de particules. Mais il n'y a pourtant aucune preuve mathématique de l'existence des champs quantiques gouvernés par les équations de Yang-Mills.
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tokos · Grioonaute Inscrit le: 25 Fév 2005 Messages: 32

C'est une excellente affaire que de voir les frères s'intéresser aux mathématiques sous différents aspects.
Je te signale au passage que à Paris, le Pr Adjamagbo, Togolais d'origine, qui enseigne également dans certaines grandes écoles a résolu une des 7 énigmes.

Je l'ai entendu parler de cela lorsque j'assistais à une de ses conférences sur la géométrie kémitique, notamment la problématique de la forme pyramidale, objet qu'il a qualifié de "neuronal" car n'existant pas dans la nature (Ne parle pas de la structure des atomes de carbone formant le diamant, le volume n'est pas pur).

Je chercherais davantage pour savoir laquelle des questions a trouvé une réponse et je te le ferais savoir.
Suis pas mathémacien, je suis juste passionné par la genèse de l'histoire en général, et par celle des sciences en particulier.

A + et j'espère que d'autres fourniront des infos. Laughing

Tchoko · Posté le: Dim 11 Sep 2005 12:46 Sujet du message:

Problèmes de Hilbert

Le 8 août 1900, David Hilbert saisit l'occasion offerte par le Congrès International des Mathématiciens à Paris pour exposer 23 problèmes illustrant ses vues sur les mathématiques. (Le texte de la conférence est dans le livre, page 251)Hilbert choisit des problèmes, car il pensait que les mathématiques avancent par leur résolution. Les problèmes, dit-il à son auditoire, sont le signe que la discipline est vivante.

Le bénéfice des problèmes est que, en les résolvant, le chercheur acquiert une vue élargie du sujet. Bien entendu, certains problèmes sont plus profonds que d'autres. Les meilleurs sont caractérisés par leur clarté et leur facilité de compréhension, vertus plus communément associées aux théories. Les problèmes doivent être difficiles mais pas complètement inaccessibles, et la découverte de leur solution devrait être source de plaisir…Il fit ensuite le lien entre la valeur des problèmes et les théories qu'ils inspirent. Cet aspect se révéla crucial quant à la longévité des problèmes, car il offrait au chercheur une raison supplémentaire de bien approfondir le problème choisi. Un problème de premier ordre, selon Hilbert, est un problème qui ouvre un sujet et mène peut-être à un nouveau champ de recherche. De cette façon il continue à vivre, même si, en un certain sens, il est résolu.

Voici la liste de ces problèmes :

1 - Peut-on prouver l'hypothèse du continu de Cantor et l'ensemble des nombres réels peut-il être bien ordonné (conjecture de Cantor, 1883).

2 - Peut-on prouver la consistance de l'arithmétique ? En d'autres termes, peut-on démontrer que les axiomes de l'arithmétique ne sont pas contradictoires et, subséquemment, sont-ils indépendants ?

3 - La méthode euclidienne de décomposition en polyèdres est-elle applicable à tous les volumes ?

4 - Quelles sont les géométries dans lesquelles le chemin le plus court entre deux points est un segment de droite.

5 - A quelles conditions (minimales), un groupe topologique de transformations est-il un groupe de Lie ? Autrement dit, les conditions de différentiabilité sont-elles nécessaires ?

6 - Peut-on axiomatiser la physique ?

7 - Étude de l'irrationalité et de la transcendance de certains nombres, comme : si a désigne un nombre algébrique non nul et distinct de 1, et b un nombre algébrique non rationnel, ab est-il transcendant ?

8 - Prouver la conjecture de Riemann.

9 - Nombre de solutions d'une congruence quadratique dans un anneau d'entiers d'un corps algébrique (réciprocité quadratique).

10 - Existe-t-il un algorithme universel pour la résolution des équations diophantiennes ?

11 - Généraliser la classification des formes quadratiques à celles dont les coefficients sont choisis dans des anneaux d'entiers algébriques.

12 - Généralisation d'un théorème de Kronecker portant sur les corps algébriques.

13 - Existe-t-il des fonctions continues de 3 variables non superposables par des fonctions continues de deux variables (équivalent à la résolution d'une équation algébrique de degré 7 au moyen de fonction de deux variables). Par exemple, une fonction h de 3 variables est définie par superpositions des trois fonctions f, g et k de 2 variables si pour tout x, y et z, on a : h(x,y,z) = f(g(x,y),k(y,z)).

14 - Étude d'un problème très pointu relatif à l'existence d'un système fini de générateurs d'une algèbre de fonctions rationnelles sur un corps abstrait.

15 - Peut-on fonder (au sens formel) la géométrie énumérative de Schubert (géométrie algébrique, cohomologie).
=> Hermann Schubert (1848-1911), mathématicien allemand.

16 - Peut-on mettre en place une topologie des variétés algébriques réelles (courbes et surfaces).

17 - Une fonction rationnelle positive sur Rn peut-elle s'écrire comme somme de carrés de fonctions rationnelles ?

18 - Peut-on décomposer un espace euclidien de dimension fini comme réunion de pavés de sorte que chacun d'eux soit congruent (isométrique) à l'un des polyèdres d'une famille donnée.

19 - Les solutions d'un problème relevant du calcul des variations (système d'équations aux dérivées partielles) sont-elles nécessairement analytiques.

20 - Etudier la solution générale des problèmes de valeur limite (généralisation du problème de Dirichlet).

21 - Etudier l'existence d'une équation différentielle linéaire de Fuchs satisfaisant à des conditions (points singuliers) données.

22 - Uniformisation des fonctions analytiques complexes au moyen de fonctions fuchsiennes (automorphes).

23 - Développer une méthode générale de résolution dans le calcul des variations.
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« En me renversant, on n'a abattu à Saint-Domingue que le tronc de l'arbre de la liberté, mais il repoussera car ses racines sont profondes et nombreuses. » (Toussaint Louverture)

Tchoko

Nino · Bon posteur Inscrit le: 05 Mar 2004 Messages: 603

Et pour les solutions à tous ces problèmes, visitez Solutions proposées aux problèmes de Hilbert

On voit d'ailleurs que certains problèmes ont été résolus dès 1900 et pas mal avant 1960....
Perso,je bosse à mes heures perdues sur la dernière énigme Laughing

OK,je rigole !
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Mon blog: http://nino.akopo.com

Tchoko · Posté le: Lun 12 Sep 2005 04:07 Sujet du message:

Nino · Bon posteur Inscrit le: 05 Mar 2004 Messages: 603

PinPon · Grioonaute Inscrit le: 04 Mai 2005 Messages: 59

Gnata · Super Posteur Inscrit le: 14 Juil 2005 Messages: 1127

Tchoko a écrit :

Nino · Bon posteur Inscrit le: 05 Mar 2004 Messages: 603

Vidékon · Grioonaute 1 Inscrit le: 04 Juil 2005 Messages: 195

Pr la conjecture de Poincaré, un Russe l'a démontrée...
http://www.rtbf.be/info/societe/ARTICLE_036138