___La vie en afrique, une "Pathologie" mortelle sexuellement transmissible (Woody Allen), le temps, 4ème dimension imaginaire de l’ »espace-temps » au sens mathématique du terme : un temps élevé au carré est équivalent à une surface négative !
Par http://www.777-mafia.com/us/home, lundi 3 janvier 2011 à 15:52 :: __La Transmutation Alchimique, "la transmutation de lesprit".. Chroniques de L'enfant divisées :: #3743 :: rss
Dans « voir en 4 dimensions« , je montre comment un cube peut aider à se représenter une 4ème dimension spatiale facilement.
Ce deuxième article explique pourquoi le temps, la 4ème dimension de l’ »espace-temps » dans lequel nous vivons, n’est pas une dimension spatiale comme les 3 autres, mais une dimension « imaginaire », au sens mathématique du terme : un temps élevé au carré est équivalent à une surface négative !
Imaginez qu’un cube de côté égal à 1 mètre surgisse du néant devant vous et disparaisse tout aussi soudainement 1 seconde plus tard. Le cube a donc été « étiré » dans la dimension du temps sur une distance de 1 seconde, et si vous êtes un « dieu » pour qui le temps est une dimension comme les autres, vous verriez cet événement comme un hypercube flottant dans un espace à 4 dimensions tel que décrit dans l’article précédent.
Mais le temps est-il une dimension « comme les autres » ? Le fait qu’on mesure le temps en secondes et les distances en mètres nous met sur la piste d’une différence fondamentale, qui tient à la manière dont on mesure les distances dans un espace.
Mais comment faire si une dimension ne se mesure pas dans les mêmes unités que les autres ? L’idéal serait de trouver un moyen de convertir les secondes en mètres. Et c’est ce qu’a fait Albert Einstein entre autres, en montrant que la vitesse de la lumière appelée « c » est une constante absolue, parce que justement elle mesure le rapport entre l’espace et le temps en chaque point de l’Univers : 1 seconde vaut 300’000 km.
Autrement dit, le »dieu à 4 dimensions » verrait le cube de tout à l’heure immensément allongé dans la direction du temps. Pour qu’il lui apparaisse comme parfaitement hypercubique, il n’aurait du apparaitre que pendant 1/300’000’000 de seconde.
Mais ça ne suffit pas pour prouver que le temps soit une dimension « comme les autres ». Les 2 dimensions d’une feuille de papier, tout comme les 3 dimensions de l’espace sont « euclidiennes » parce qu’on peut mesurer les distances entre des points par le théorème de Pythagore. Vous savez, celui qui dit que la carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés.
la diagonale de notre carré à 2 dimensions de côté 1 vaut racine de 12+12 = racine de 2 la diagonale de notre cube à 3 dimensions de côté 1 vaut racine de 12+12+12 = racine de 3 mais la diagonale de l’hypercube unité dans l’espace temps vaut-elle vraiment racine de 12+12+12+12, soit 2 ? Cela revient à la question « comment mesurer la distance entre deux points distincts dans l’espace et le temps ? »
Pour y répondre, nous allons nous intéresser aux cercles et aux sphères plutôt qu’aux cubes, parce que tous les points sur un cercle ont la particularité d’être à la même distance du centre, comme d’ailleurs tous ceux à la surface d’une sphère. C’est même la définition mathématique de ces objets.
Commençons par remarquer que cette distance est toujours positive : le carré de l’hypoténuse ne peut jamais être un nombre négatif.
maintenant, imaginons une ampoule située sur la Lune à une distance d=300’000 km d’ici et qui s’allume là bas exactement … top ! maintenant. Elle nous paraîtra s’allumer exactement en même temps qu’une ampoule allumée ici t=1 seconde plus tard, autrement dit la « distance à 4 dimensions » d entre les 2 allumages d’ampoules et le « top » est la même.
Disons que le « top » est aux coodonnées (0,0,0,0), l’ampoule qui s’allume sur la Lune est aux coordonnées (x,y,z,0), et l’ampoule dans le labo aux coordonnées (0,0,0, c.t), c étant la vitesse de la lumière et t le temps après lequel on voit l’ampoule s’allumer, 1 seconde dans l’exemple.
On a donc: d= c.t =racine de ( x2+y2+z2) , soit: d2=c2.t2 = x2+y2+z2, ce qui donne la relation : x2+y2+z2 – c2.t2 = 0
Plus généarlement, la distance d entre deux événements situés en (x,y,z,t) et en (x’,y’,z’,t’) dans l’espace-temps s’écrit
d=(x-x’)2+(y-y’)2+(z-z’)2 – c2.(t-t’)2
Ce n’est pas une distance euclidienne à cause du signe « moins », donc le temps n’est pas une dimension « comme les autres », même après l’avoir transformé en distance grâce à la vitesse de la lumière. L’espace-temps n’est donc pas un espace euclidien, mais un espace de Minkowski.
A moins que l’on puisse remplacer c par quelque chose qui deviendrait négatif en l’élevant au carré, mais le carré de tous les nombres réels est positif … On ne peut faire intervenir que le nombre imaginaire i, tel que i2=-1 par convention.
Avec cette astuce, la distance devient « euclidienne » parce qu’on peut l’écrire : d=dx2+dy2+dz2 + c2(i.dt)2
Mais ceci montre que le temps est une dimension très spéciale car, tout en étant « perpendiculaire » à l’espace, on doit accepter qu’une distance mesurée entre deux événements dans le temps, au carré, correspond à une surface négative : le temps est donc une dimension « imaginaire » de l’espace-temps.
Références:
- http://goulu.net/2007/02/07/le-temps-une-4eme-dimension-imaginaire/
- http://www.astrosurf.com/luxorion/relativite-restreinte3.htm
- La théorie de la Relativité
L'électrodynamique des corps en mouvement
L’espace-temps de Minkowski (III)
La théorie de la relativité restreinte venait juste d'être publiée qu'elle passionnait déjà le professeur Hermann Minkowski16 de l'Université de Göttingen. Pour l'anecdote, Minkowski donna cours de mathématique à Einstein lorsque celui-ci avait 17 ans, lorsque tous deux étaient à Zurich. Mais Einstein s'ennuyait à ses cours. Minkowski devait avouer plus tard que jamais il n'eut cru que cet élève deviendrait le génie qu'il fut...
Eminent mathématicien, Minkowski porta son intérêt sur les formules de transformations de coordonnées et apporta une grande contribution à la relativité, sans laquelle écrivit Einstein "la Théorie de la relativité générale serait peut-être restée au maillot ". Il appliqua les transformations de FitzGerald-Lorentz à un système tridimensionnel animé d'un mouvement uniforme et aboutit à un nouvel espace à quatre dimensions, euclidien, dans lequel la variable temps, qui dépend de la vitesse du référentiel devient le temps propre t et est inséparable de la longueur x.
Appliquons le théorème de Pythagore à l'équation de FitzGerald-Lorentz et multiplions ses deux membres par l'intervalle entre les deux événements (ct') ² :
Le terme (v² t'²) représente la distance parcourue par un objet en mouvements pendant l'intervalle de temps t', ce qui s'écrit également : (vt'1 - vt'2)².
Si sa vitesse égale c, l'équation s'annule :
c² t² = 0
et la mesure (c² t²) traduit, d'un point de vue extrinsèque, que les dimensions d'espace et de temps se sont comme arrêtées dans le référentiel relativiste, car la vitesse de l'objet est égale à celle de la lumière. En changeant de membre, (c² t²) devient négatif, ce qui signifie que pour des objets animés de la vitesse de la lumière, il n'y a plus de lien de causalité entre les événements.
Imaginons qu’un faisceau lumineux soit émis à l’instant t=0 et se propage sur l’axe x à la vitesse constante de la lumière, c :
c = x/t , qu'on peut aussi écrire sous la forme : x = ct
Dans l’espace-temps de Minkowski, cette équation s’écrit :
En changeant t de membre et en portant le tout au carré pour supprimer la racine on obtient :
(1)
Implicitement, dès 1907 le temps joue un rôle sur la géométrie de l'espace, puisqu'il ajoute un terme supplémentaire à notre équation, (c² t²) une mesure de l'espace-temps.
Considérons deux événements de coordonnées (x1y1z1t1) et (x2y2z2t2) et remplaçons les variables dans l’équation (1) :
(ds)² = c²(t2 - t1) ² - ( x2 - x1) ² + (y2 - y1) ² + (z2 - z1) ² (2)
En posant :
dt = t2 - t1,
dx = x2 - x1,
dy = y2 - y1,
dz = z2 - z1
on peut également écrire l’équation (2) sous la forme :
ds² = c²dt² - ( dx² + dy² + dz² )
ds² devient ce qu'il convient d'appeler le "quadrivecteur déplacement", c’est l'intervalle d'espace-temps où, comme le dit simplement Einstein, le carré de la distance. Le fait que cette grandeur puisse être positive, nulle ou négative est liée au caractère absolu de la vitesse de la lumière. Deux observateurs en mouvements inertiels, ayant pris soin d'étalonner et de synchroniser leurs horloges sont du même avis pour noter que les intervalles de temps qu'ils mesurent sont identiques, mais le temps (local) n'est pas décompté de la même façon dans les deux référentiels.
L’équation (1) décrit la propagation d’un signal entre deux événements. L’intervalle ds² = 0 parce que les deux événements sont reliés à la vitesse de la lumière. On peut les représenter par un cône de lumière de Minkowski dans l’espace-temps.
Cette équation conduit à faire plusieurs observations. Dans l'univers plat à quatre dimensions de Minkowski, les trajectoires des objets dans l'espace-temps sont des droites. Si l'objet reste au repos, seul le temps continue à s'écouler :
c² dt²
= c² dt'²
En posant l'existence du nombre imaginaire i² = -1 pour résoudre l'équation de Minkowski (l'inversion des signes), nous obtenons :
ds²
= - c² dt’²
s
= c t’
Cette équation démontre que dans une transformation de Lorentz le rayon vecteur qui représente l'intervalle entre deux événements (ds²) et le temps propre restent invariables. Si on applique les règles de la mécanique classique, l'intervalle entre deux événements animés d'un mouvement inertiel l'un par rapport à l'autre paraît différent (nous avons noté que l'une des distances vaut 0 alors qu'elle a bien été parcourue). L'équation s'appliquant à un référentiel galiléen, Minkowski peut conclure qu'il n'existe pas de référentiel privilégié pour effectuer cette mesure. Cette façon de parler de la relativité nous rappelle une fois encore que les absolus de Newton sont bel et bien morts. Comme le disait Minkowski en 1908 lors d'une conférence, "Désormais l'espace en lui-même et le temps en lui-même sont destinés à s'évanouir comme des ombres, et seule pourra prétendre à une existence indépendante une espèce d'union de l'un et de l'autre"17.
Si la vitesse de la lumière est infinie nous retrouvons le cas particulier de l'univers newtonien, où un phénomène peut instantanément se produire en dehors de tout lien de causalité. Le temps y est absolu et il n'existe pas d'horizon cosmologique (ds² < 0 et dt = 0). Ce modèle ne correspond pas à la réalité car nous savons que le caractère de simultanéité dépend du choix du référentiel.
Malheureusement Minkowski mourut en janvier 1909, trop tôt pour voir la publication de sa conférence de Cologne.
Dimension
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Voir « dimension » sur le Wiktionnaire.
Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.
En physique et en mathématique, la notion de dimension signifie d'abord le nombre de directions indépendantes, puis a été étendu.
Sommaire ..!
- 1 Technique
- 2 Physique
- 2.1 Dimension d'un espace vectoriel
- 2.2 Dimension d'une grandeur
- 3 Mathématiques
- 3.1 Dimension d'un espace vectoriel
- 3.2 Dimension d'une variété topologique ou d'une variété différentiable
- 3.3 Dimension fractale
- 3.4 Dimension topologique
- 3.5 Dimension en algèbre commutative et en géométrie algébrique
- 4 Dans les œuvres de science-fiction
- 4.1 Liens externes
Dans le domaine de la mécanique, le terme « dimension » renvoie à la taille d'une pièce.
Dans l'absolu, les dimensions d'une pièce peuvent être choisies de manière totalement arbitraire, l'important étant qu'elles soient compatibles avec l'utilisation finale de la pièce. Dans un but de normalisation, il est toutefois préférable d'utiliser comme dimensions linéaires nominales des valeurs de la « série de Renard ».
Dans la pratique de tous les jours, le terme renvoie à la taille d'un objet. Nous avons par exemple
objet de 350 × 250 × 255 mm. description : (L)ongueur × (l)argeur × (h)auteur. forme : D = (L × l × h)
- Physique!!
En physique, le terme « dimension » renvoie à deux notions complètement différentes.
Dimension d'un espace vectorielmodifier La physique utilise beaucoup la notion mathématique d'espace vectoriel. On peut simplifier sa définition en disant que la dimension d'un espace est le nombre de variables qui servent à définir un état, un événement. Ainsi par exemple, on dit classiquement que notre univers est à quatre dimensions, puisqu'un événement se définit par la position dans l'espace (x, y, z) et l'instant t auquel cet événement survient.
- Un objet volumique constant (c'est-à-dire dont les propriétés sont indépendantes du temps, du moins durant l'étude) est dit à trois dimensions, car il faut trois nombres (x, y, z) pour désigner un de ses points ;
- un objet plan (comme une feuille de papier) dont on néglige l'épaisseur est dit à deux dimensions, car il faut deux nombres (x, y) pour désigner un de ses points ;
- un objet linéaire (comme un fil) dont on néglige l'épaisseur est dit à une dimension, car il suffit d'un seul nombre x pour désigner un de ses points (abscisse curviligne) ;
- un objet ponctuel (comme un point) dont on néglige la taille est dit de dimension zéro, car une fois que l'on a désigné le point, on n'a besoin d'aucun paramètre supplémentaire pour le trouver.
Ces concepts sont repris en modélisation informatique (objet 2D, 3D).
Cette notion est la traduction de la notion mathématique de dimension (voir plus bas).
- Dimension d'une grandeur!!
Article détaillé : Analyse dimensionnelle. La dimension d'une grandeur physique est son unité exprimée par rapport aux sept unités de base du système international. On retraduit les unités en grandeurs. Par exemple, la vitesse a la dimension d'une longueur divisée par un temps (c'est-à-dire que l'unité de vitesse est le mètre par seconde).
- Mathématiques!!
Dimension d'un espace vectoriel!!
Article détaillé : Dimension d'un espace vectoriel. En algèbre linéaire, la dimension d'un espace vectoriel E sur un corps K est le cardinal commun à toutes les bases de E. Une base est une famille libre maximale ou une famille génératrice minimale. Si ce cardinal est fini, il représente le nombre de vecteurs de base à introduire pour écrire les coordonnées d'un vecteur. Cette notion conduit à la classification des espaces vectoriels : deux espaces vectoriels sur K sont isomorphes si ils ont même dimension.
Par exemple, l'espace vectoriel réel des suites réelles est de dimension infinie. Dans un tel espace, il existe des familles libres finies arbitrairement grandes, mais aucune famille génératrice finie.
- Dimension d'une variété topologique ou d'une variété différentiable!!
La dimension d'une variété topologique est une généralisation courbée de la notion de dimension d'un espace vectoriel. Comme une variété topologique est définie par recollement de morceaux homéomorphes à des ouverts des espaces vectoriels ou , on dit que cette variété est de dimension n. Il en est de même pour la dimension d'une variété différentielle : sa dimension est la dimension de l'espace vectoriel dans lequel on choisit les ouverts pour fabriquer les cartes locales.
- Dimension fractale!!
Construction de la courbe de von KochArticle détaillé : Dimension fractale. En géométrie fractale, la dimension fractale, est une grandeur qui a vocation à traduire la façon qu'a un ensemble de remplir l'espace, à toutes les échelles. Dans le cas des fractales, elle est non entière et supérieure à la dimension topologique.
Ce terme est un terme générique qui recouvre plusieurs définitions. Chacune peut donner des résultats différents selon l'ensemble considéré. Les définitions les plus importantes sont la dimension de Hausdorff, la dimension de Minkowski (ou "box-countig"), et la dimension de corrélation.
- Dimension topologique!!
Article détaillé : Dimension topologique. La dimension topologique, définie par récurrence, associe à chaque partie P de Rn un entier, égal à la dimension algébrique si P est un sous-espace affine, à n si P est d'intérieur non vide, à 1 si P est une courbe régulière, à 2 si P est une surface régulière, etc. De manière générale elle attribue à un ensemble usuel sa dimension intuitive qui est le nombre de variables indépendantes nécessaire pour le décrire.
- Dimension en algèbre commutative et en géométrie algébrique!!
Article détaillé : Dimension de Krull.
En géométrie algébrique, l'espace topologique sous-jacent à une variété algébrique ou un schéma est relativement grossier (ne comporte pas beaucoup de parties ouvertes). La notion adéquate est celle de dimension de Krull qui mesure la longueur maximale de chaines de parties fermées irréductibles. Elle correspond à l'intuition (dimension vectorielle; dimension topologique) le cas échéant (espace affine; variétés sans point singulier sur le corps des nombres réels).
Pour un anneau commutatif unitaire A, sa dimension est la dimension de Krull du spectre premier Spec A. Par exemple, un corps est de dimension 0, alors que l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps et à n variables est de dimension n.
- Dans les œuvres de science-fiction!!
Article détaillé : Univers parallèle.
Dans le domaine de la science-fiction, la quatrième dimension désigne, soit une quatrième dimension spatiale (en ajout avec la longueur, la largeur et la hauteur) qui serait responsable de faits insolites (cf: Théorie d'Everett ); soit une autre dimension, celle-ci, temporelle et non spatiale : c'est-à-dire l'espace-temps à travers lequel les protagonistes pourraient voyager (cf : vitesse supraluminique ). Par extension, le terme « dimension » a finalement été utilisé pour caractériser les mondes dits « parallèles », c'est-à-dire par lesquels on ne peut pas accéder en voyageant dans l'espace ; on ne peut y accéder qu'en utilisant un appareil ouvrant une « faille » entre les « dimensions », ou bien à l'occasion d'un événement accidentel. On dit que le monde parallèle est situé dans une « autre dimension ».
..!
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